Ensembles finis Exemples

${(2 m + 4)}^{2} + {(3 m)}^{2} = {(5 m)}^{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 m$ .

${(2 m + 4)}^{2} + 3^{2} m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Étape 1.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(2 m + 4)}^{2} + 9 m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

Simplifiez ${(5 m)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 m$ .

${(2 m + 4)}^{2} + 9 m^{2} = 5^{2} m^{2}$

Étape 1.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(2 m + 4)}^{2} + 9 m^{2} = 25 m^{2}$

Étape 1.3

Soustrayez $25 m^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(2 m + 4)}^{2} + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4

Simplifiez ${(2 m + 4)}^{2} + 9 m^{2} - 25 m^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez ${(2 m + 4)}^{2}$ comme $(2 m + 4) (2 m + 4)$ .

$(2 m + 4) (2 m + 4) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.2

Développez $(2 m + 4) (2 m + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 m (2 m + 4) + 4 (2 m + 4) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 4 + 4 (2 m + 4) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 4 + 4 (2 m) + 4 \cdot 4 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 4 + 4 (2 m) + 4 \cdot 4 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3.1.2

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.3.1.2.1

Déplacez $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 4 + 4 (2 m) + 4 \cdot 4 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3.1.2.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 4 + 4 (2 m) + 4 \cdot 4 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 4 + 4 (2 m) + 4 \cdot 4 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 m^{2} + 8 m + 4 (2 m) + 4 \cdot 4 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 m^{2} + 8 m + 8 m + 4 \cdot 4 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 m^{2} + 8 m + 8 m + 16 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.1.3.2

Additionnez $8 m$ et $8 m$ .

$4 m^{2} + 16 m + 16 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 m^{2}$ et $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 16 m + 16 - 25 m^{2} = 0$

Étape 1.4.3

Soustrayez $25 m^{2}$ de $13 m^{2}$ .

$- 12 m^{2} + 16 m + 16 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = - 12$ , $b = 16$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $m$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 16)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$m = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 12 \cdot 16}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 12 \cdot 16$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$m = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 48 \cdot 16}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $48$ par $16$ .

$m = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 768}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.1.3

Additionnez $256$ et $768$ .

$m = \frac{- 16 \pm \sqrt{1024}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $1024$ comme $32^{2}$ .

$m = \frac{- 16 \pm \sqrt{32^{2}}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{- 16 \pm 32}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$m = \frac{- 16 \pm 32}{- 24}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 16 \pm 32}{- 24}$ .

$m = \frac{2 \pm 4}{3}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$m = 2, - \frac{2}{3}$